ניהול שיעור הסתברות

בשיעור זה נלמד על **בעיות הסתברות** - אחד הנושאים המרכזיים במבחן הפסיכומטרי. בבעיות הסתברות נשאל בדרך כלל: **מה הסיכוי להתרחשותו של מאורע מסוים?** הסיכוי מיוצג על ידי שבר בין 0 ל-1: - **סיכוי 0** = המאורע לא יתרחש - **סיכוי 1** = המאורע יתרחש בוודאות - ככל שהסיכוי קרוב יותר ל-1, כך גדל הסיכוי שהמאורע יקרה

הנוסחה המרכזית בהסתברות היא פשוטה וחזקה: **הסיכוי** = **האפשרויות בהן אנו מעוניינים** חלקי **סך האפשרויות הקיימות** במילים אחרות: - **רצוי** = כמה אפשרויות "מצליחות" יש? - **מצוי** = כמה אפשרויות בסך הכול קיימות? - **סיכוי** = חלוקה של רצוי במצוי

למטבע הוגן יש **2 צדדים**: "עץ" ו"פלי". **שאלה:** מה הסיכוי שבהטלת מטבע נקבל "עץ"? ### הפתרון: **רצוי:** אנחנו רוצים תוצאה אחת - "עץ" = **1** אפשרות **מצוי:** סך האפשרויות הקיימות = **2** (עץ או פלי) **חישוב:** 1 ÷ 2 = **1/2** ✅ **התשובה:** הסיכוי לקבל "עץ" הוא **1/2**

קובייה הוגנת היא קובייה בעלת **6 פאות**, עליהן הספרות 1-6. **שאלה:** מה הסיכוי שבהטלת קובייה נקבל את המספר 3? ### הפתרון: **רצוי:** הספרה 3 מופיעה על **פאה אחת** = **1** אפשרות **מצוי:** לקובייה יש **6 פאות** = **6** אפשרויות **חישוב:** 1 ÷ 6 = **1/6** ✅ **התשובה:** הסיכוי לקבל 3 הוא **1/6**

**שאלה:** מה הסיכוי לקבל מספר **זוגי** בהטלת קובייה הוגנת? ### הפתרון: **רצוי:** המספרים הזוגיים בקובייה הם: 2, 4, 6 = **3** אפשרויות **מצוי:** סך המספרים בקובייה = 1,2,3,4,5,6 = **6** אפשרויות **חישוב:** 3 ÷ 6 = **1/2** ✅ **התשובה:** הסיכוי לקבל מספר זוגי הוא **1/2** 💡 **שימו לב:** אם היינו נשאלים על מספר **אי-זוגי** (1,3,5), התוצאה הייתה זהה!

בואו ננסה שאלה מורכבת יותר מסוג הבחינה הפסיכומטרית:

עד כה למדנו את **העיקרון הבסיסי** של הסתברות: ## רצוי מתוך מצוי ראינו דוגמאות עם: - 🪙 מטבע (2 אפשרויות) - 🎲 קובייה (6 אפשרויות) - 👥 קבוצות תלמידים בשקפים הבאים נלמד על **מספר אירועים**, קשרים בין אירועים ("וגם" ו"או"), ועוד...

כאשר אנו מעוניינים ש**שני אירועים יתרחשו ביחד**, עלינו ל**כפול** את ההסתברויות. ### דוגמה: הטלת שתי קוביות - קובייה א' וקובייה ב'. מה ההסתברות שבהטלת אחת מהן יתקבל המספר 6, ובהטלת השנייה יתקבל המספר 5? **פתרון:** ישנן 2 אפשרויות: 1. קובייה א' → 6 **וגם** קובייה ב' → 5 2. קובייה א' → 5 **וגם** קובייה ב' → 6 לכל אפשרות: 1/6 × 1/6 = 1/36 מכיוון שזה "**או** זה" נחבר: 1/36 + 1/36 = **2/36 = 1/18**

**שאלה:** מה ההסתברות לקבל דאבל 6 (6,6) בהטלת שתי קוביות? ### הפתרון: **קובייה א':** הסתברות לקבל 6 = **1/6** **קובייה ב':** הסתברות לקבל 6 = **1/6** מכיוון שאנחנו צריכים ששתיהן יראו 6 **ביחד** ("וגם"), נכפול: **1/6 × 1/6 = 1/36** 💡 **שימו לב:** ההסתברות לקבל כל דאבל (1,1 או 2,2 או 3,3...) היא זהה - **1/36**

**שאלה:** מה ההסתברות לקבל **דאבל כלשהו** (מספר זהה בשתי הקוביות)? ### פתרון - דרך 1 (הכלל): ישנם 6 דאבלים אפשריים: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) כל דאבל: 1/36 מכיוון שכל אחד מהם מתאים ("או"), נחבר: **1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 6/36 = 1/6** ### פתרון - דרך 2 (חשיבות המאורע הראשון): - קובייה א': **לא משנה** איזה מספר יצא → הסתברות = **1** - קובייה ב': צריכה להראות **אותו מספר** → הסתברות = **1/6** כפל: **1 × 1/6 = 1/6** ✓

## כלל חשוב: כאשר **למאורע הראשון אין חשיבות** (כלומר הוא יתרחש בוודאות), ההסתברות להתרחשותו היא **1**. ### מתי זה קורה? - כשאומרים "**כלשהו**" (מספר כלשהו, צד כלשהו...) - כשלא אכפת לנו מהתוצאה הראשונה - כשהמאורע הראשון בטוח שיקרה ### דוגמה: שמעון מטיל מטבע 3 פעמים. מה הסיכוי שהמטבע ייפול על **אותו צד** בכל 3 הפעמים? **פתרון:** - הטלה ראשונה: לא משנה איזה צד → **1** - הטלה שנייה: אותו צד כמו הראשונה → **1/2** - הטלה שלישית: אותו צד כמו הראשונה → **1/2** כפל: **1 × 1/2 × 1/2 = 1/4**

## ההבדל בין "עם החזרה" ל"בלי החזרה" ### עם החזרה: - המאורע הראשון **לא משפיע** על המאורעות שאחריו - דוגמה: הטלת קוביות/מטבעות - התוצאה יכולה להתקבל שוב ### בלי החזרה: - המאורע הראשון **משפיע** על המאורעות שאחריו - דוגמה: הוצאת כדורים מכד/קלפים מחפיסה - מספר האפשרויות מצטמצם --- ### דוגמה - בלי החזרה: בכיתה 20 תלמידים: 10 בנות ו-10 בנים. המורה מוציאה תלמידים באקראי, והם **לא חוזרים**. **שלב 1:** הסתברות להוצאת בת = 10/20 = **1/2** **שלב 2:** אחרי שבת יצאה: - נשארו **9 בנות** (10 - 1) - נשארו **19 תלמידים** בסך הכל (20 - 1) - הסתברות להוצאת בת נוספת = **9/19** ⚠️ **שימו לב:** המספרים השתנו!

הגיע הזמן לתרגל!

## מה זה מאורע משלים? לפעמים **קל יותר** לחשב מה ההסתברות שמאורע **לא יתרחש**, ואז לחסר מ-1. ### למה זה עוזר? כי אם יש הרבה אפשרויות "טובות" ורק כמה "רעות" - נחשב את ה"רעות" ונחסר! --- ### דוגמה: **שאלה:** מה הסיכוי שבהטלת קובייה **לא** יתקבל המספר 4? **דרך ארוכה:** נחשב 1 או 2 או 3 או 5 או 6: 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6 😰 **דרך קצרה (מאורע משלים):** - הסתברות **לקבל 4** = 1/6 - הסתברות **לא לקבל 4** = 1 - 1/6 = **5/6** ✨ הרבה יותר פשוט!

בואו ננסה שאלה מורכבת עם מאורע משלים:

## מטבעות וקוביות לא הוגנים עד כה עבדנו עם מטבעות וקוביות **הוגנים** - שבהם הסיכוי לכל תוצאה שווה. אבל מה קורה כשה**סיכוי לא שווה**? ### כלל חשוב: **סכום כל ההסתברויות = 1 (תמיד!)** --- ### דוגמה: מטבע לא הוגן - הסיכוי לקבל "פלי" הוא 2/3 מהסיכוי לקבל "עץ". מה הסיכוי לקבל "פלי"? **פתרון:** - נסמן: הסיכוי ל"עץ" = x - אז: הסיכוי ל"פלי" = 2x/3 - סכום: x + 2x/3 = 1 - פתרון: 5x/3 = 1 → x = 3/5 - לכן: פלי = 2/3 × 3/5 = **2/5**

# 🎯 סיכום שיעור הסתברות ## הנוסחה הבסיסית: ### **סיכוי = רצוי / מצוי** --- ## 6 הכללים המרכזיים: ### 1️⃣ רצוי מתוך מצוי חלקו את מספר התוצאות הרצויות בסך כל התוצאות ### 2️⃣ "וגם" = כפל (×) שני דברים צריכים לקרות ביחד → **כפול** הסתברויות ### 3️⃣ "או" = חיבור (+) מספיק שאחד מהם יקרה → **חבר** הסתברויות ### 4️⃣ מאורע ראשון לא חשוב אם "לא משנה" מה יקרה → הסתברות = **1** ### 5️⃣ בלי החזרה המספרים **משתנים** אחרי כל שלב ### 6️⃣ מאורע משלים קשה לחשב "כן"? חשבו "לא" וחסרו מ-**1** --- ## 💪 עכשיו אתם מוכנים! תרגלו הרבה ותצליחו במבחן! 🎓